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Développement de schémas numériques pour simuler des mouvements collectifs auto-organisés

Ma thèse porte sur l'étude et la simulation numérique de mouvements collectifs auto-organisés. Nous nous intéressons notamment au modèle microscopique de Vicsek (à l’échelle de l’individu) et au modèle macroscopique associé (à l’échelle de la densité de population). Ils permettent de décrire par exemple le mouvement d’insectes ou d’oiseaux et reproduisent l’émergence d’un mouvement collectif organisé.

Cette thèse a pour premier but de mieux comprendre et de développer un schéma numérique performant pour le modèle macroscopique, nommé modèle SOH (Self-Organized Hydrodynamics). La difficulté réside dans le fait que ce modèle est hyperbolique et non-conservatif. En effet, les solutions ondes de choc du modèle ne sont pas bien définies. De plus, les approximations numériques de ces solutions ne convergent pas vers la solution exacte. Ainsi, d'une part, les chocs ont été définis comme des limites de solutions ondes progressives du modèle SOH visqueux. Cela a permis de définir les chocs par des relations de Rankine-Hugoniot généralisées aux systèmes non-conservatifs. Ensuite, un schéma de type Godunov a été dérivé pour le modèle SOH, auquel une correction visqueuse numérique a été ajoutée afin de capturer numériquement les ondes de choc correctement. Ce travail fait l'objet d'un premier article (HAL).

Le projet de recherche vise ensuite à obtenir des simulations plus réalistes. D’une part, une méthode de décomposition micro-macro permettra de conserver les aspects cinétiques dans le modèle tout en ayant un coût de calcul moins élevé qu'une méthode particulaire. En effet, le modèle SOH ne prend en compte que des individus à l'équilibre. Une décomposition micro-macro permet donc de rajouter une contribution cinétique qui ne fait partie de l'équilibre. D’autre part, nous souhaitons enrichir le modèle SOH pour prendre en compte des phénomènes de peur ou d’appétence au sein de la population.

Ma thèse est encadrée par Christophe Berthon et Anaïs Crestetto.

Mots clés :

Preprints

M. Compain, C. Berthon, A. Crestetto. A micro-macro numerical scheme for a self-organized hydrodynamics model enriched by a kinetic contribution. (2026) HAL

Abstract

The present work investigates the continuous individual based Couzin-Vicsek model, the associated kinetic model and its macroscopic derivation, called the Self-Organized Hydrodynamics (SOH) model. They describe self-organized motions, which emerge in nature as insect swarms or bird flocks for instance. In particular, the SOH model takes into account only motions where all individuals are part of the equilibrium. Here, according to a micro-macro decomposition, we enrich the model with a kinetic contribution of the deviation from equilibrium. First of all, a micro-macro model is derived. We then design an asymptotic preserving numerical scheme for this model, where the equilibrium variables are discretized thanks to a finite volume method, while the kinetic deviation is approximated with a particle method. Finally, some test cases are computed, and the micro-macro scheme is validated in different asymptotic regimes.

M. Compain, C. Berthon, A. Crestetto. A shock-capturing numerical scheme for a non-conservative self-organized hydrodynamics model. (2026) HAL

Abstract

This work focuses on the Self-Organized Hydrodynamics (SOH) model, which is the macroscopic limit of the well-known individual based Vicsek model. The SOH model is a hyperbolic non-conservative PDE system with a geometric constraint, which causes issues for both its theoretical and numerical resolutions. In this work, we first reformulate the model without its constraint for some well-prepared initial conditions. We then focus on shock wave solutions of the SOH model and we define generalized Rankine-Hugoniot conditions. Moreover, a Godunov-type scheme is designed and a viscous correction is added in order to numerically recover shock wave solutions. Finally, some exact solutions to the Riemann problem are computed thanks to the generalized Rankine-Hugoniot conditions. Thus the shock-capturing scheme is compared to an usual splitting method and the exact solutions on some test cases. These simulations confirm the relevance of the viscous Godunov-type scheme to simulate shock waves of the SOH model.

Solveur de Riemann pour le modèle SOH

Des solutions au problème de Riemann associé au modèle SOH peuvent être calculées ici :